უეინ რუნიმ კარიერა “ევერტონში” დაიწყო. ის “ევერტონის” ახალგაზრდულ გუნდს 10 წლის ასაკში შეუერთდა და სხვადასხვა ასაკობრივ გუნდებში გამოდიოდა. 2002 წელს რუნის დებიუტი ჰქონდა პრემიერლიგაში, ხოლო პირველმა გატანილმა გოლმა ის ყველაზე ახალგაზრდა ფეხბურთელად აქცია, ვინც ეს მოახერხა.